Костянтин Вівчаренко родом з Одеси, розпочав свій футбольний шлях у ДЮСШ-11 «Чорноморець». Після сезону в цій команді був запрошений до академії київського «Динамо».

Після закінчення академії Костянтин був внесений до заявки «Динамо» на сезон 2018/19. У 16-річному віці вже почав працювати з динамівськими колективами U19 та U21. Провів у згаданому сезоні 11 матчів за юнацький склад (8 - у чемпіонаті України та 3 - у Юнацькій Лізі УЄФА) і 9 зустрічей - за молодіжний. У якості гравця обох команд завоював чемпіонство України.

Наступного сезону Вівчаренко став гравцем основи команди під керівництвом Ігоря Костюка, зігравши 13 поєдинків у юнацькій першості та відзначившись першим голом (16 серпня 2019 року в матчі з «Десною»). Також узяв участь у всіх 5-ти матчах киян у Юнацькій Лізі УЄФА і 7 разів виходив у складі «Динамо» U21.

На початку 2020 року був залучений Олексієм Михайличенком до обойми першої команди «Динамо» на зимових зборах у Туреччині, де брав участь у контрольних матчах. Уперше до заявки основного складу киян Вівчаренко був включений на матч за Суперкубок України-2020, у якому динамівці здолали «Шахтар» (3:1). 

Продовжує розраховувати на молодого захисника і Мірча Луческу - до сезону 2020/21 Вівчаренко знову готувався в обоймі першої команди, паралельно виступаючи за молодіжний склад. Був заявлений на груповий етап Ліги чемпіонів за списком «Б».

Вівчаренко дебютував за першу команду «Динамо» 27-го липня 2022-го року у матчі-відповіді 2-го кваліфікаційного раунду Ліги чемпіонів проти турецького «Фенербахче». Костянтин вийшов на заміну на 106-й хвилині додаткового часу замість Дубінчака та віддав гольову передачу на Караваєва, а команда перемогла з рахунком 2:1 (основний час 1:1).

«Ці емоції не передати, ті відчуття, коли я вийшов у переможному матчі з «Фенербахче», віддав гольовий асист. Емоції переповнювали, відчував гордість від дебюту за мій рідний клуб, адже я в «Динамо» з 13-ти років. Я дуже довго тренувався, йшов до цієї мети. Дякую моїй сім’ї за підтримку, а також тренерському штабу за довіру, за те, що випустили мене на поле у такий вирішальний момент.

Було важко заснути у ніч після матчу, бо емоції переповнювали. Був на зв’язку з родиною, дуже гордився цим моментом». - ділився враженнями від дебюту захисник.

Вперше у воротах суперника на рівні першої команди Вівчаренко відзначився 9-го серпня 2022-го року у матчі-відповіді 3-го кваліфікаційного раунду Ліги чемпіонів проти австрійського «Штурму» (Грац). З'явившись на полі на 71-й хвилині, за рахунку 1:0 на користь «Штурма», на 97-й хвилині Костянтин прийняв пас від Віктора Циганкова в штрафному майданчику та влучно пробив по воротах, зрівнявши рахунок і вивівши «Динамо» вперед у двоматчевому протистоянні. 

Свій перший матч в українській Прем'єр-лізі футболіст провів 11-го вересня минулого року у домашньому поєдинку 4-го туру проти ФК «Львів». Костянтин вийшов у стартовому складі та був замінений на 61-й хвилині.

Рідною позицією Вівчаренка є лівий фланг оборони, однак у динамівській академії він грав також у центрі захисту та опорній зоні.