Євген Пилипович почав займатися футболом у 15 років, коли в ремісничому училищі, де Лемешко навчався на коваля, організували футбольну команду. Уже через рік футболіст потрапив до найкращої команди міста - «Суднобудівник» з Миколаєва. У вересні 1950 року Євген Лемешко перейшов до «Динамо» Київ. У якості гравця Євген Лемешко захищав ворота київського «Динамо» з 1950 по 1958 рік. За цей час зіграв 60 матчів (пропустив 67 м’ячів).
У 1959 – воротар перейшов до «Авангарду» (Миколаїв), а в серпні - до «Шахтаря» Сталіно. У 29 років через травму Євген Лемешко завершив кар'єру футболіста і розпочав кар'єру тренера. Працював з командами «Динамо» (Хмельницький) - двічі, «Карпати» (Львів), «Десна» (Чернігів), «Суднобудівник» (Миколаїв), «Кристал» (Херсон), «Металіст» (Харків), «Торпедо» (Запоріжжя).
Євген Лемешко виховав велику кількість футболістів. Найвідоміші з них - Юрій Сивуха, Юрій Тарасов, Ігор Кутєпов та інші. Після закінчення кар'єри тренера працював на посаді інспектора ФФУ на матчах чемпіонату і кубка України.
Дочка Євгена Лемешка Наталія одружена з одним із найрезультативніших форвардів радянського футболу Олегом Протасовим, нині футбольним тренером.
Світла пам'ять про Євгена Лемешка – доброзичливу, чуйну та інтелігентну людину, назавжди залишиться в наших серцях.
Футбольний клуб «Динамо» (Київ) разом із усією футбольною громадськістю країни сумує з приводу непоправної втрати й висловлює щирі співчуття рідним та близьким покійного.
ФК «Динамо» (Київ)
