Роман Саленко народився 18.05.2005 в Києві. Син відомого в минулому нападника «Динамо» Олега Саленка.

У віці семи років батьки відали до дитячо-юнацької академії «Динамо» імені Валерія Лобановського, де першим тренером став Сергій Величко. Згодом хлопець був переведений до дитячої команди «Діназ» і з ним став чемпіоном України у сезоні-2020/2021. У наступному сезоні підписав перший професіональний контракт із першою командою «Діназа». Зіграв кілька матчів, в тому числі в розіграші Кубка України.

У 2022 році опинився на перегляді в юнацькій команді «Динамо» (Київ) та підписав контракт із «біло-синіми». Дебютував за «Динамо» U19 23 серпня 2022-го у виїзному поєдинку чемпіонату України серед юнацьких команд проти «Інгульця» (4:1). Загалом у дебютному сезоні в чемпіонаті U19 провів 21 матч.

Наступного сезону провів 23 матчі за юнаків «Динамо», два рази потрапляв до заявки першої команди на матчі УПЛ. 

За основну команду в офіційному матчі вперше зіграв 23 листопада 2024 року, у домашній грі проти одеського «Чорноморця». Роман вийшов на заміну замість Віталія Буяльського наприкінці другого тайму - на 90-й хвилині та провів на полі завершальні хвилини зустрічі. Динамівці перемогли з рахунком 3:1.

А 21 січня 2025 року відбувся єврокубковий дебют Саленка у складі першої команди «Динамо». Це сталося у поєдинку основного етапу Ліги Європи проти турецького «Галатасараю» (3:3). Роман на 87-й хвилині замінив капітана команди Віталія Буяльського. При цьому у його карʼєрі вже були єврокубкові матчі – у складі «Динамо» U19 у Юнацькій Лізі УЄФА. 

Сезон 2025/26 Саленко провів у оренді, виступаючи за луганську «Зорю». Він зіграв 16 матчів в УПЛ, а 11 серпня 2025 року забив свій дебютний гол у Премʼєр-Лізі, у грі «Зоря» - «Кудрівка» (2:1). Провівши сезон в оренді, Роман повернувся до «Динамо».