Максим Коробов народився 06.03.2006 року в Києві. У 3-річному віці разом із батьками переїхав до Вінниці.

Футболом починав займатися у Вінниці в дитячій школі імені Блохіна та Бєланова, перші тренери – Валерій Базалицький та Олександр Бессараб. До Академії «Динамо» перейшов у 15-річному віці.

Сезон 2022/2023 років провів на правах оренди у юнацькій команді луганської «Зорі», взяв участь у 25 матчах, забив 3 м’ячі.

За команду юнаків «Динамо» дебютував 29 липня 2023 року, в матчі «Динамо» - «Минай» (3:0). У першому сезоні провів за «Динамо» U19 10 матчів, ставши чемпіоном України. Наступного сезону - 19 матчів, знову здобувши титул чемпіона України у категорії U19. Брав участь у матчах Юнацької Ліги УЄФА.

За основну команду «Динамо» дебютував 20 лютого 2026 року, у домашньому матчі 17-го туру VBET Ліги проти львівського «Руху», у якому «біло-сині» перемогли з рахунком 1:0, а Максим зіграв 80 хвилин та взяв участь у результативній атаці, яка призвела до забитого м'яча.

Завдяки стабільній грі і прогресу Коробов відіграє важливу роль у складі команди, демонструючи надійність і потенціал для подальшого розвитку та зростання.