Народився у Запоріжжі, де з чотирьох років почав займатися футболом у ДЮСШ "Металург" (Запоріжжя). Тренувався і грав із командою хлопців на два роки старших під керівництвом першого тренера - Андрія Максименка.

Перейшов до "Динамо" у віці 13-ти років, де його тренерами були Валерій Ніколаєнко та Олександр Радченко.

У ДЮФЛ виступав за запорізький "Металург" та київське "Динамо".

Спочатку дебютував за "Динамо" U21, сталося це 27-го квітня 2019-го року у матчі "Арсенал-Київ" - "Динамо"(1:3), коли Володимир вийшов на заміну наприкінці поєдинку та зіграв 8 хвилин.

Наступного сезону Бражко теж виступав лише за молодіжний склад і лише 11 вересня 2020-го року дебютував у юнацькій команді "Динамо", взявши участь у домашній перемозі над чернігівською "Десною" 2:0.

Залучався до матчів за юнацькі збірні України U15, U16, U17 та U18. Також є футболістом молодіжної збірної (U21).

У сезоні 2021/22 добре проявив себе у Юнацькій Лізі УЄФА (7 матчів, всі у старті, 3 голи), взявши участь у перемогах над «Баварією» та «Барселоною».

Сезон 2022/23 провів у оренді в луганській «Зорі», де одразу став гравцем основного складу та був одним із ключових гравців протягом усього сезону. В УПЛ взяв участь у 29 матчах (23 у стартовому складі), забив 7 голів.

Після успішного сезону в оренді повернувся в «Динамо» та розпочав сезон 2023/24 вже у першій команді. Дебютний матч за основу провів 30 липня 2023 року в матчі «Динамо» - «Минай» (4:1), замінивши Сергія Сидорчука на 82-й хвилині. Свій перший гол за «Динамо» забив 23 вересня 2023 року, у поєдинку 8-го туру Прем’єр-Ліги проти ЛНЗ у Черкасах, відкривши рахунок у грі ударом з 32-х метрів на 3-й хвилині. Матч завершився перемогою киян з рахунком 4:2.