Народився у Запоріжжі, де з чотирьох років почав займатися футболом у ДЮСШ «Металург» (Запоріжжя). Тренувався і грав із командою хлопців на два роки старших під керівництвом першого тренера - Андрія Максименка.

Перейшов до «Динамо» у віці 13 років, де його тренерами були Валерій Ніколаєнко та Олександр Радченко.

У ДЮФЛ виступав за запорізький «Металург» та київське «Динамо».

Спочатку дебютував за «Динамо» U21, сталося це 27 квітня 2019 року у матчі проти «Арсеналу-Київ», коли Володимир вийшов на заміну наприкінці поєдинку та зіграв 8 хвилин.

Наступного сезону Бражко теж виступав лише за молодіжний склад і лише 11 вересня 2020 року дебютував у юнацькій команді «Динамо», взявши участь у домашній перемозі над чернігівською «Десною» (2:0).

Залучався до матчів за юнацькі збірні України U15, U16, U17 та U18, а у складі молодіжної збірної (U21) став учасником двох фінальних турнірів чемпіонату Європи, в 2023-му діставшись із «жовто-синіми» півфіналу.

У сезоні 2021/22 добре проявив себе у Юнацькій Лізі УЄФА (7 матчів, всі у старті, 3 голи), взявши участь у перемогах над «Баварією» та «Барселоною».

Сезон 2022/23 провів у оренді в луганській «Зорі», де одразу став гравцем основного складу та був одним із ключових гравців протягом усього сезону. В УПЛ взяв участь у 29 матчах (23 у стартовому складі), забив 7 голів.

Після успішного сезону в оренді повернувся в «Динамо» та розпочав сезон 2023/24 вже у першій команді. Дебютний матч за основу провів 30 липня 2023 року в матчі проти «Миная» (4:1), замінивши Сергія Сидорчука на 82-й хвилині. Свій перший гол за «Динамо» забив 23 вересня 2023 року, у поєдинку 8-го туру Прем’єр-Ліги проти ЛНЗ у Черкасах, відкривши рахунок у грі ударом з 32-х метрів на 3-й хвилині. Матч завершився перемогою киян з рахунком 4:2.

Володимир наполегливо працював, досяг прогресу та виборов місце в стартовому складі киян. Його зростання не залишилося непоміченим – він неодноразово викликався до лав національної збірної України, в якій дебютував 21 березня 2024 року в півфінальному матчі плей-оф кваліфікації відбору Євро-2024 проти Боснії і Герцеговини (2:1). Невдовзі взяв участь у фінальній частині Євро-2024.

Також за підсумками 2024 року вболівальники визнали Володимира Бражка найкращим гравцем «Динамо», а в лютому 2025 року футболіст, який має вже в доробку титул чемпіона України, підписав новий контракт із «біло-синіми», відповідно до якого залишатиметься динамівцем до кінця червня 2029 року.

Наприкінці сезону 2025/2026 Володимир досяг двох ювілейних позначок. Домашній матч 28-го туру УПЛ проти «Колоса» (2:1) став для хавбека 100-м у складі «Динамо» в усіх турнірах, а виїзний поєдинок 29-го туру проти СК «Полтава» (0:2) - 100-м в елітному дивізіоні чемпіонату України.

Разом із «Динамо» виграв Кубок України сезону 2025/2026.