Олександр народився в Херсоні і рано почав займатися футболом у школі місцевої «Освіти», яка подарувала незалежній Україні досить багато професійних футболістів.

У 13-річному віці Караваєва помітили скаути «Шахтаря» і запросили в академію «гірників», де він, в свою чергу, піднявся сходами до першої команди, хоча свого шансу так і не отримав.

Виступаючи за юнацьку і молодіжну команди «Шахтаря», а також навіть встигнувши пограти за «Шахтар-3» у Другій лізі України в сезоні 2009/10, реальний шанс проявити себе на дорослому рівні у нього з'явився дещо пізніше.

Відомий в Україні та Східній Європі білоруський тренер Олег Кононов, змінивши «Карпати» на керівну посаду в «Севастополі» і, з часом ставши тренером клубу, поступово почав збирати цікавий колектив. Слід зазначити, що кістяк того колективу складали вихованці «Шахтаря». Цей сплав молодості і досвіду ставив перед собою амбітні цілі і, відразу після повернення в Прем'єр-лігу, в сезоні 2013/14 фінішував на дев'ятому рядку. Караваєв, зрозуміло, був одним з ключових виконавців у тій команді, награвши за два роки понад півсотні матчів і забив вісім м'ячів.

До того момент Олександр вже був чудово знайомий тренерам юнацьких і молодіжної збірних. У командах U17, U19 і U21, він грав регулярно. За національну збірну він дебютував дещо пізніше - в 2015-му проти Північної Македонії.

Севастопольський скарб і «Зоря»

З початком війни з Росією і анексією Криму, а також подальшою ліквідацією ПФК «Севастополя», Олександр покинув півострів, виїхавши звідти не тільки з багатим футбольним досвідом і популярністю в українському футболі, а й з одним з головних скарбів в житті - дружиною Людмилою, з якою познайомився якраз в Севастополі. Разом пара виховує доньку Аріану.

Тим часом на футбольному горизонті у Караваєва виникла «Зоря». Амбітний молодий проект, нехай і в досить непростих умовах, враховуючи війну, в луганському клубі почав будувати Юрій Вернидуб. Молоді і талановиті футболісти (на перших порах - в основному з «Шахтаря») отримали ще одну платформу для розвитку і виступів на найвищому рівні, і Олександр опинився в їх числі.

Виступаючи на позиції правого атакувального півзахисника, здатного як зіграти на атаку, так і опуститися на правий фланг оборони, фактично Караваєв можна назвати класичним латералем в футболі. У свій перший прихід в «Зорю» (сезони 2014/15 і 2015/16) Караваєв був невід'ємною частиною команди Вернидуба і беззаперечним гравцем основи. Як результат - 66 матчів і 16 голів - показник, особливо з точки зору результативності, яким не можуть похвалитися навіть дехто з форвардів.

Логічно, що саме в той період на нього звернули увагу в збірній України, а взимку 2017-го Олександр відправився до Туреччини.

Стамбул-Запоріжжя-Київ

Він отримав шанс проявити себе в одному з топових клубів Туреччини - «Фенербахче», і багато хто вірив, що саме українцеві, за рахунок своєї настирливості і працездатності, вдасться закріпитися в Стамбулі. Цікаво, що турки помітили гравця в очних протистояннях з «Зорею» в Лізі Європи.

«Шахтар», якому все ще належав контракт футболіста, готовий був відпустити свого вихованця до «канарок», але після закінчення сезону 2016/17 Олександр повернувся до України, відігравши за «Фенербахче» всього три поєдинки. Напередодні старту нового сезону «Зорі» і «Шахтарю» вдалося домовитися про повноцінний трансфер Караваєва. У підсумку, за «гірників» він так жодного разу і не зіграв.

У «Зорі» ж Олександр повернувся на колишній рівень, став лідером і капітаном команди і продовжив стабільно викликатися до збірної України. Непоступливість, самовіддача і величезна працездатність футболіста, а також його відкритість до вболівальників і преси, виділяють його серед багатьох.

Що стосується футбольних якостей, то, як і раніше, Караваєв був гравцем основи у Вернидуба, але його результативність зменшилася вдвічі. Пов'язано це, в першу чергу, з тим, що Олександр став грати значно ближче до свого штрафного, частіше виступаючи в якості правого захисника. Саме на цій позиції він регулярно виходить і в національній збірній країни. І все-таки у багатьох важливих матчах саме голи Караваєва допомагали «Зорі» домогтися потрібного результату.

Своєю грою і ставленням Олександр, без сумнівів, заслужив справжній шанс проявити себе на топ-рівні. Як результат – запрошення в «Динамо» у червні 2019-го року.

За киян дебютував 28 липня 2019 року у матчі Суперкубка України. Караваєв вийшов у стартовому складі і на 68 хвилині був замінений на Карлоса де Пену, а динамівці виграли той матч 2:1, а Караваєв здобув перший трофей у своїй кар'єрі. На Олександра розраховували як колишні тренери "Динамо" Олександр Хацкевич та Олексій Михайличенко, так і нинішній наставник Мірча Луческу.