Назар Волошин народився 17 червня 2003 року в Кременчузі, що в Полтавській області. Починав здобувати футбольну освіту в дитячій школі харківського «Металіста», а в 13-річному віці переїхав до Києва, де вступив до Академії київського «Динамо».

У ДЮФЛУ виступав за «біло-синіх», і вже з випускної групи почав залучатися до виступів за команду U19. Дебютував у юнацькому чемпіонаті 7 березня 2020 року в домашньому матчі з «Маріуполем» (2:0). Загалом провів у чемпіонаті України 32 матчі (забив 11 м’ячів) у юнацькій та 14 матчів (4 голи) – у молодіжній вітчизняній першості.

У сезоні 2021/2022 зіграв сім матчів в Юнацькій Лізі УЄФА, пропустивши в тій кампанії лише один матч (із «Депортиво» в раунді плей-оф) через дискваліфікацію. Забив два м'ячі на груповій стадії – в домашньому матчі з «Бенфікою» та на виїзді мюнхенській «Баварії».

Перед початком сезону 2022/2023 Назар перейшов на правах оренди до «Кривбасу» з Кривого Рогу. Там півзахиснику вдалося добре проявити себе – у 13 матчах, проведених в УПЛ, Волошин забив 4 м’ячі, а новачок вищого вітчизняного дивізіону закріпився в середині турнірної таблиці.

Уже за півроку «Динамо» повернуло свого гравця з оренди, до того ж, враховуючи прогрес Назара, підписало з футболістом новий контракт.

Назар дебютував у складі основної команди киян 4 березня 2023 року, у матчі 16-го туру Української Прем'єр-Ліги, в якому київське «Динамо» приймало «Інгулець» із Петрового (0:2). Відтоді він встиг стати одним із важливих гравців команди, демонструючи постійний прогрес.

У поєдинку 27-го туру «Олександрія» - «Динамо», у якому кияни здобули перемогу з рахунком 5:1, відзначився дебютним м’ячем в офіційних матчах.

У матчі-відповіді 3-го кваліфікаційного раунду Ліги Конференцій УЄФА сезону 2023/2024 «Динамо» перемогло грецький «Аріс» з рахунком 2:1 в основний час (6:5 по пенальті), а Назар забив свій перший м'яч за «Динамо» у єврокубках.

У грудні 2023 року у перенесеному поєдинку 3-го туру УПЛ сезону 2023/2024, в якому «Динамо» приймало на своєму полі харківський «Металіст 1925» та перемогло з рахунком 4:2, оформив перший дубль в УПЛ.

У березні та квітні 2024 року Волошин був визнаний найкращим гравцем місяця в Україні у категорії U21 (до уваги бралися гравці 2003-2004 років народження) відповідно до рейтингу проєкту «Золотий талант». Наразі в активі Назара 127 матчів за першу команду «Динамо» в усіх турнірах, в яких він забив 23 голи та віддав 29 асистів. У складі «біло-синіх» став чемпіоном України в сезоні 2024/2025 та переможцем Кубка України в сезоні 2025/2026.

Волошин у складі молодіжної збірної України (U21) взяв участь у фінальному турнірі Євро-2025 у Словаччині. Крім того, у травні 2024 року він отримав виклик до складу олімпійської збірної України, зігравши в кількох товариських матчах, однак на саму Олімпіаду не потрапив.

Наприкінці серпня 2025 року Назар отримав дебютний виклик до лав національної збірної України на матчі відбору на чемпіонат світу-2026 проти Франції та Азербайджану. Саме в матчі проти Франції, який відбувся 5 вересня, вінгер уперше зіграв за національну збірну.